MECÁNICA ROTACIONAL

CUANDO UNA PARTÍCULA O CUERPO VIAJA DESCRIBIENDO UNA TRAYECTORIA CIRCULAR, NO SOLAMENTE SE CONSIDERA LA DIMENSIÓN LINEAL, SINO QUE TAMBIÉN SE CONSIDERA LA DIMENSIÓN ANGULAR. LO ANTERIOR IMPLICA QUE LOS CONCEPTOS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN REQUIEREN SER ANALIZADOS BAJO LA ÓPTICA DE ESAS DOS DIMENSIONES.

EL MOVIMIENTO DESCRIBE UNA TRAYECTORIA CIRCULAR DE RADIO CONSTANTE R, LLAMADO RADIO DE CURVATURA. LA PARTÍCULA AL MOVERSE DE ESTA FORMA SE DESPLAZA SOBRE LA CIRCUNFERENCIA DESCRIBIENDO UN ARCO QUE CUBRE UN ÁNGULO. ESE DESPLAZAMIENTO, LLAMADO LONGITUD DE ARCO, SE CALCULA CON BASE EN EL RADIO DE CURVATURA Y EL ÁNGULO MEDIANTE LA EXPRESIÓN:

S = R * θ  

NOTA: Aunque el ángulo normalmente se mide en grados sexagesimales, para utilizar el dato para el cálculo de la longitud de arco, hay que tomar el ángo en radianes. La conversión se realiza de la siguiente manera:

θ rad = θ º * 3,1416/180

MUCHAS VECES LA TRAYECTORIA SUELE DARSE EN VARIAS VUELTAS. EN ESTE CASO ES CONVENIENTE LA CONVERSIÓN DE VUELTAS O REVOLUCIONES (rev) A RADIANES, LA CUAL SE REALIZA DE LA SIGUIENTE MANERA:

θ rad = θ rev * 2 *3,1416

EJEMPLO: SE ENROLLA UN HILO SOBRE UN CARRETE CUYO RADIO ES DE 0.05 METROS. SI DICHO CARRETE HA DADO 25 VUELTAS ENVOLVIENDO SOBRE SÍ MISMO EL HILO, ¿CUANTOS METROS DE HILO FUERON RECOGIDOS DE ESTA FORMA?

PRIMERAMENTE SE CALCULA EL EQUIVALENTE EN RADIANES DE LAS 25 VUELTAS DADAS POR EL CARRETE DE HILO:

θ rad = θ rev * 2 *3,1416

θ rad = 25 rev * 2 *3,1416

θ rad = 157.08 rad

AHORA BIEN, LOS METROS DE HILO RECOGIDOS POR EL CARRETE CORRESPONDEN A TODA LA LONGITUD DE ARCO DESARROLLADA DURANTE LAS 25 VUELTAS:

S = R * θ

S = 0.05 m * 157.08

S = 7.85 metros

VELOCIDAD ANGULAR y VELOCIDAD TANGENCIAL: DEBIDO A QUE EL RADIO ES CONSTANTE, CUANDO LA PARTÍCULA O CUERPO VIAJA DESCRIBIENDO UNA TRAYECTORIA CIRCULAR MANIFIESTA UNA VELOCIDAD ÚNICAMENTE EN DIRECCIÓN TANGENTE A DICHA TRAYECTORIA. DICHA VELOCIDAD ESTÁ DIRECTAMENTE RELACIONADA CON LA VELOCIDAD CON QUE VARÍA EL ÁNGULO DE LA TRAYECTORIA, ES DECIR, LA VELOCIDAD ANGULAR. SIENDO Vt LA VELOCIDAD TANGENCIAL (LLAMADO POR ALGUNOS COMO "VELOCIDAD LINEAL"), Y ω LA VELOCIDAD ANGULAR, TENEMOS:

Vt = R * ω

EN DONDE R VIENE DADO EN METROS, Y ω VIENE DADA EN rad / s. MUCHAS VECES ESTA VELOCIDAD ANGULAR VIENE DADA EN RPM (REVOLUCIONES / MINUTO), COMO ES EL CASO DE LAS VELOCIDADES ANGULARES DE LOS EJES DE MOTORES Y MÁQUINAS. LA CONVERSIÓN DE RPM A rad / s SE REALIZA DE LA SIGUIENTE MANERA:

 ω (rad/s) = ω (RPM) * 3,1416 / 30

EJEMPLO: LAS RUEDAS DE UN VEHÍCULO CUYO DIÁMETRO ES DE 0.50 m GIRAN A UNA VELOCIDAD ANGULAR PROMEDIO DE 700 RPM. SI SE SABE QUE LA VELOCIDAD DEL VEHÍCULO CORRESPONDE A LA VELOCIDAD TANGENCIAL DE LAS RUEDAS, ¿A QUE VELOCIDAD VIAJA EL VEHÍCULO?

RECORDANDO COMO PRIMERA MEDIDA QUE EL DIÁMETRO DE UN CÍRCULO ES EQUIVALENTE AL DOBLE DEL RADIO, EL RADIO DE LAS RUEDAS DE ESTE VEHÍCULO ES DE 0.50 / 2 = 0.25 m.

A CONTINUACIÓN CONVERTIMOS LA VELOCIDAD ANGULAR DE RPM A rad/S:

ω (rad/s) = ω (RPM) * 3,1416 / 30

ω = 700 RPM * 3,1416 / 30

ω = 73,3 rad/s

AHORA BIEN, LA VELOCIDAD DEL VEHÍCULO SERÁ ENTONCES DE:

Vt = R * ω

Vt = 0.25 m * 73.3 rad / s

Vt = 18.33 m/s

ACELERACIÓN ANGULAR. CUANDO UN DISCO GIRA A VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE (COMO EL CD EN SU REPRODUCTOR) O UNA PARTÍCULA SE DESPLAZA EN TRAYECTORIA CIRCULAR A VELOCIDAD TANGENCIAL CONSTANTE, NO EXISTE ACELERACIÓN ALGUNA. POR OTRA PARTE, SI EL DISCO PARTE DEL REPOSO Y DESPUÉS DE UN TIEMPO ALCANZA UNA VELOCIDAD ANGULAR FINAL, ENTONCES SE HA DESARROLLADO UNA ACELERACIÓN ANGULAR. 

LAS FÓRMULAS PARA ESTIMAR DICHA ACELERACIÓN ANGULAR, LA CUAL ESTÁ RELACIONADA CON LAS VELOCIDADES ANGULARES INICIAL Y FINAL, CON EL TIEMPO EN QUE SE DA EL MOVIMIENTO Y CON EL DESPLAZAMIENTO ANGULAR EN RADIANES SON EXACTAMENTE ANÁLOGAS A LAS FÓRMULAS DE CINEMÁTICA DE MOVIMIENTO LINEAL (EN UNA DIMENSIÓN). SIENDO α LA ACELERACIÓN ANGULAR, LAS TRES FÓRMULAS DE LA CINEMÁTICA ROTACIONAL ANGULAR SON LAS SIGUIENTES:

α = (ω - ωo) / t

θ = ωo * t + (1/2) * α * t^2

(ω^2) - (ωo^2) = 2 * α * θ 

EJEMPLO:  CON RESPECTO AL VEHÍCULO DEL CASO ANTERIOR, SUPONIENDO QUE LA VELOCIDAD ALCANZADA HABÍA SIDO DURANTE UN TIEMPO DE 8 SEGUNDOS PARTIENDO DEL REPOSO, CALCULE LA ACELERACIÓN ANGULAR DESARROLLADA EN LAS RUEDAS Y EL TOTAL DE VUELTAS QUE DIERON ÉSTAS DURANTE EL MOVIMIENTO DE ACELERACIÓN.

α = (ω - ωo) / t

α = (73,3 rad/s - 0) / 8 s

α = 9.16 rad / s^2

POR OTRA PARTE, EL DESPLAZAMIENTO ANGULAR TOTAL A PARTIR DEL REPOSO ES DE:

θ = ωo * t + (1/2) * α * t^2

θ = 0 + (1/2) * (9.16 rad/s^2) * (8 s)^2

θ = 293.22 rad

CONVIRTIENDO A VUELTAS:

θ rev = θ rad / (2 *3,1416)

θ = 46.67 vueltas

ACELERACIÓN NORMAL Y TANGENCIAL

SI SE ANALIZA EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA UBICADA EN EL BORDE DE UN DISCO QUE GIRA EN TORNO A SU EJE, SE GENERAN DOS COMPONENTES DE ACELERACIÓN LINEAL: UNA COMPONENTE NORMAL (MUCHAS VECES LLAMADA CENTRÍPETA), Y OTRA COMPONENTE TANGENCIAL.

LA ACELERACIÓN NORMAL (An) OCURRE AÚN SI EL DISCO GIRA A VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE, YA QUE SOLAMENTE DEPENDE DE LA VELOCIDAD ANGULAR CON QUE GIRA EL SISTEMA Y DEL RADIO DE CURVATURA DE ÉSTE.

An = R * (ω ^ 2)

TAMBIÉN SE PUEDE HALLAR CON RESPECTO A LA VELOCIDAD TANGENCIAL:

An = (Vt^2) / R

POR OTRA PARTE, LA ACELERACIÓN TANGENCIAL DEPENDE ÚNICAMENTE DEL RADIO DE CURVATURA Y DE LA ACELERACIÓN ANGULAR. POR LO TANTO, SI EL DISCO GIRA A VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE, NO EXISTE COMPONENTE DE ACELERACIÓN TANGENCIAL. 

At = R * α

FUERZA CENTRÍPETA, FUERZA TANGENCIAL Y TORQUE

Cuando se toma un objeto atado a una cuerda y se le da vueltas alrededor de un centro, la masa mantiene tensa la cuerda mientras da vueltas, lo que origina una fuerza alejándose de dicho centro. Esta fuerza se origina como consecuencia de la aplicación de la 2º Ley de Newton tomando como aceleración la Normal o Centrípeta.

Fn = m * An

Fn = m * (R * (ω ^ 2))

Fn = m * ((Vt^2) / R)

Por otra parte, si la velocidad angular de giro es variable desde el reposo, existe una Fuerza Tangencial originada con base en la 2º Ley de Newton basada en la aceleración tangencial:

Ft = m * At

Ft = m * (R * α)

Por otra parte, esa fuerza tangencial al ser multiplicada por el radio de curvatura, su producto genera un concepto muy importante denominado momento (algunas veces llamado torque).

Mt = Ft * R

Diferencia entre Momento y Torque: Aunque ambos conceptos pudieran parecer lo mismo, existe una notable diferencia: El Momento es el efecto de cualquier fuerza aplicada a un sistema de manera que lo hace girar, como cuando uno aplica una palanca para alzar un peso. El Torque es un caso particular de Momento en el cual se aplican dos fuerzas de igual magnitud y dirección, pero en sentidos opuestos y a igual distancia con respecto al centro de giro del sistema.

Obtenga mayor información sobre el tema revisando los siguientes documentos y videos:

https://www.youtube.com/watch?v=wQE0Du3e9oI&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=fNfXWTucc2w

https://drive.google.com/file/d/0B41OkEkyiGQCOGNzZU80aFJ2ZGM/edit?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B41OkEkyiGQCS1pJbngwblhsYkE/edit?usp=sharing

Ponga a prueba sus conocimientos realizando la siguiente actividad:

Cuestionario Rotacional